双极点放大器的闭环响应

本文最后更新于：2026年7月29日 晚上

开环放大器为双极点放大器，接成闭环放大器使用后的闭环响应。

1. 开环到闭环

假设放大器的开环增益为$A(s)$，接成反馈系数为$\beta$（假设$\beta$与频率无关）的闭环反馈放大器使用，如下图所示：

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则闭环响应表示为

因此反馈放大器的极点就是$1+A(s)\beta$的零点。

令特征方程为

以下将根据不同的开环系统，即不同的$A(s)$对闭环反馈电路的稳定性进行讨论

2. 开环：双实极点

【情形1】：开环放大器为双实极点系统，零点位于无穷远处，则开环传递函数$A(s)$表示为：

带入式（2）特征方程，并整理为标准二次方程：

显然，闭环反馈放大器此时存在两个极点$p_1$、$p_2$，这两个极点的位置即$s$的解

开环放大器存在两个极点，则闭环放大器必然也存在两个极点

只是这两个闭环极点可能是双实极点，也可能是共轭复极点

使用求根公式解得$s$为

两极点的位置（即s的解）与$A_0\beta$相关。由于$A_0$不变，因此不同的反馈系数$\beta$会使得闭环极点的位置不同：

  • 随着$\beta$由0（$\beta=0$即开环）不断增大，闭环极点逐步相互靠近。
  • 当$\beta$达到一定数值时，两极点重合。
  • 当$\beta$继续增大，其极点将成为一对共轭极点并沿着一条垂直线移动。

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显然，当$\beta$最大时，反馈闭环电路的稳定性最差。

【注意】：

需要注意的是，通过$A_0\beta$的STB仿真得到的相位裕度PM就可以预测闭环响应（后面说明）

因此，当$\beta$固定的时候，直接仿真该环路的STB，观察其PM大小即可预测闭环响应

如果$\beta$不固定的时候，需要仿真最差情况

通常，$\beta$最大即等于1，即单位负反馈，因此很多时候直接看单位负反馈STB的PM

然而有些反馈放大器的放大倍数＜1（$\beta$>1），则单看单位负反馈PM并不足够说明闭环的稳定性情况

根据标准二次方程，可以得到无阻尼自然频率$\omega_n$：

注意，有时候会误以为$\omega_n = \sqrt{\omega_{p1}\omega_{p2}}$，这是错误的！！这个错误的原因是直接把$A(s)$极点的$\omega_n$当成$A(s)$闭环反馈极点的$\omega_n$。

阻尼因子$\zeta$：

3. 开环：双极点+零点

情形2：开环放大器为双实极点系统，增加了补偿零点（需注意，本文所说的零点均是负半平面零点，正半平面零点不在讨论范围），则开环传递函数$A(s)$表示为：

带入式（2）特征方程，并整理为标准二次方程：

显然，闭环反馈放大器此时存在两个极点$p_1$、$p_2$，零点的引入并没有改变闭环反馈放大器的极点个数。

根据标准二次方程，可以得到无阻尼自然频率$\omega_n$：

对比情况1的$\omega_n$，二者一致。

阻尼因子$\zeta$：

对比情况1的$\zeta$，$\zeta$表达式中的第二项 随 $\omega_z$ 减小而增大，系统阻尼增大，闭环系统趋向稳定、响应速度变慢，响应曲线变缓（趋向不出现增益尖峰）。因此引入零点是改善稳定性和抑制振荡的关键手段，（负半平面）零点的存在总是让系统趋向稳定。

$\omega_n$大小不受零点影响！！

$\zeta$大小受零点影响！！

对于零点补偿双极点系统的频率补偿方案，零点放置的位置可分为两（或三）种情况：

① 零点位于两极点中间，即$\omega_{p1}<\omega_z<\omega_{p2}$

② 零点位于两极点之外，即$\omega_{p1}<\omega_{p2}<\omega_z$

③ 零点位于两极点前面，即$\omega_z<\omega_{p1}<\omega_{p2}$

①、②两种情况是常见的补偿方案，③几乎不出现，因此后文不对③进行讨论。

3.1 零点位于两极点中间

从$\zeta$表达式讲，该情况的零点频率较低，因此$\zeta$更高，相应的闭环系统也会更加稳定；

从相位裕度讲，由于零点在次极点前，于是$UGB$附近的零极点分布为：

因此相位裕度通常是随着$UGB$（即$A_0\beta$）的增大而单调递减，因此在$A_0\beta$最大时就是闭环系统稳定性最差时。

【此处先给出该情况的闭环响应结论】：

  • 闭环后仍然存在两个极点，且为两个不相等的负半平面极点
  • 闭环极点$p_1$相对原来的主极点$\omega_{p1}$频率更高，随$A_0\beta$的增大最终会趋向补偿零点频率$\omega_z$，即闭环系统带宽增大
  • 闭环极点$p_2$相对原来的次极点$\omega_{p2}$频率更高，随$A_0\beta$的增大最终会趋向无穷远处
  • $A_0\beta$很大时，闭环系统可认为单极点系统，最大带宽约为$\omega_z$

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以下为具体数值分析：

3.1.1 闭环必为双实极点

根据开环双实极点+零点的闭环特征方程的标准二阶形式

根据“二次方程的跟判别式（$\Delta=b^2-4ac>0?$）”得

其中，$T = \beta A_0$

将其视为关于$T$的二次函数：

该二次式开口向上，其判别式（关于$T$的判别式）为

由于 $\omega_{p1}<\omega_z<\omega_{p2}$，因此 $(\omega_{p1}-\omega_z)(\omega_{p2}-\omega_z)<0$，故$D<0$。这说明$\Delta(T)$无实数解，而$\Delta(0)=(\omega_{p1}-\omega_{p2})^2>0$，因此对任意 $T\ge0$ 均有 $\Delta>0$。即，对任意 $T\ge0$，$s$均有两个不相等的解，这意味着闭环极点始终为两个相异负实数，永不振荡。

3.1.2 极点相对开环零极点的位置

可利用二次函数$f(s)=s^2+a_1s+a_0$ 在关键点的符号确定根的范围：

由连续性与二次函数开口向上可得：

  • $f(-\omega_{p1})\ge0,\ f(-\omega_z)<0$→ 在区间$(-\omega_z,\ -\omega_{p1})$内必有一根，记为$p_1$。
  • $f(-\omega_{p2})\le0,\ f(-\infty)=+\infty$→ 在区间$(-\infty,\ -\omega_{p2})$ 内必有一根，记为$p_2$。

因此位置顺序（负实轴上从左向右为更负到更靠近原点）为：

等号仅在 $T=0$ 时成立，此时开环极点即闭环极点。

两个根可显式写为：

  • 对于$p_1$（闭环主极点）：当$T\to\infty$ 时，$b ≈ \frac{T\omega_{p1}\omega_{p2}}{\omega_z}$，$\Delta ≈ \left(\frac{T\omega_{p1}\omega_{p2}}{\omega_z}\right)^2 - 4T\omega_{p1}\omega_{p2} \sim [\frac{T\omega_{p1}\omega_{p2}}{\omega_z}+2\omega_z]^2$ ，可算得$p_1 \to \omega_z$（被零点吸引）。

  • 对于$p_2$（闭环非主极点）：当 $T\to\infty$ 时，$p_2 \approx -a_1 \sim -\frac{T\omega_{p1}\omega_{p2}}{\omega_z} \to -\infty$。

3.1.3 总结

  • 两个闭环极点均相对开环极点向左移动（更负），系统响应加速。
  • 零点像“磁石”将 $\omega_{p1}$拉向自己，使得主导极点趋$p_1$近$\omega_z$，闭环带宽最高约达 $\omega_z$。
  • $p_2$ 迅速远离虚轴成为非主导极点，系统近似为一阶惯性环节，无超调，过阻尼。
  • 整个系统始终保持稳定，且动态特性可由 $\omega_z$ 的位置调节。

3.2 零点位于两极点之外

模拟IC
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