标准二阶形式

对标准二阶形式和相关参数进行分析介绍

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1. 标准二阶形式

标准二阶形式

$$s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$$

或

$$s^2 + \frac{\omega_n}{Q} s + \omega_n^2 = 0$$

使用求根公式解得$s$为

$$s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = -\sigma \pm j\omega_d$$

2. 参数讨论

【无阻尼自然频率$\omega_n$】：

对于s平面的共轭极点$(\sigma,j\omega_d)$，有

$$\omega_n^2 =\sigma^2+\omega_d^2$$

即共轭极点到原点的距离。

当闭环极点耦合成共轭极点时，且零阻尼（$\zeta=0$）或$\zeta$较小时，该频率约等于共轭极点所在的频率。

【阻尼因子$\zeta$ 和 品质因子$Q$】：

$\zeta$和$Q$之间存在数值关系：

$$\boxed{\zeta Q=0.5}$$

极角$\theta$是极点向量与负实轴的夹角，满足

$$\cos\theta = \frac{\sigma}{r} = \frac{\zeta\omega_n}{\omega_n} = \zeta$$

因此，阻尼比$\zeta$直接决定了共轭极点在s平面上的角度位置：

• 每一个$\zeta$对应一条从原点出发、与负实轴夹角为 $\theta = \arccos(\zeta)$的射线，极点只能位于这条等$\zeta$线上。
• $\zeta$不变时，$\omega_n$ 变化只会让极点沿这条射线径向移动。

【$\zeta$与极点位置关系的总结】

$\zeta$值	$Q$值	极点位置	物理意义
$\zeta>1$	$Q<0.5$	两个不等负实根，均在负实轴上	过阻尼，无振荡
$\zeta=1$	$Q=0.5$	二重负实根	临界阻尼
$0<\zeta<1$	$Q>0.5$	共轭复极点，位于与负实轴夹角 $\arccos(\zeta)$ 的射线上	欠阻尼，衰减振荡
$\zeta=0$	$Q=\infty$	共轭纯虚根$±jω_n$	无阻尼，等幅振荡
$\zeta<0$	/	极点进入右半平面	不稳定，发散振荡

【注意点】

$Q=\zeta=0.707$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$，共轭极点与负实轴夹角$\theta=45^\circ$，其响应函数的图形表现为具有最大平坦响应

$Q\leq0.707$，即$\zeta\geq0.707$，虽然极点可能为共轭极点，但是响应函数的图形表现无增益尖峰

$Q\geq0.707$，即$\zeta\leq0.707$，极点为共轭极点，响应函数的图形存在增益尖峰

3. 三个频率

3.1 谐振峰频率和无阻尼自然频率的关系？

谐振峰（峰值频率）通常不等于无阻尼自然频率 $\omega_n$。

除非是零阻尼（$\zeta=0$）的理想情况，否则谐振峰总是出现在比 $\omega_n$略低一些的频率上。

【为什么这样？】

对于标准二阶低通系统：

$$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

幅频响应为：

$$|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{\left(1 - \frac{\omega^2}{\omega_n^2}\right)^2 + \left(2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2}}$$

求导可得，当$0 < \zeta < \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$时，幅值在以下频率处达到最大：

$$\boxed{\omega_p = \omega_n \sqrt{1 - 2\zeta^2}}$$

这就是谐振峰频率$\omega_p$，即在波特图上看到的峰顶所在的频率位置。

【数值举例】

假设一个系统$\omega_n = 10\,\text{kHz}$：

• 若$\zeta = 0$（无阻尼），$\omega_p = \omega_n$，理论上峰趋向无穷大。
• 若$\zeta = 0.1$，谐振频率$\omega_p \approx 10 \times \sqrt{1 - 0.02} \approx 9.9\,\text{kHz}$，峰非常靠近$\omega_n$。
• 若$\zeta = 0.5$，$\omega_p \approx 10 \times \sqrt{1 - 0.5} \approx 7.07\,\text{kHz}$，峰已明显左移。
• 若 $\zeta = 0.707$，$\omega_p = 0$（峰值刚好消失，曲线单调下降）。

所以，你看到的那个“凸起来”的最高点，几乎永远在无阻尼自然频率的左侧。阻尼越大，这个偏移越明显；直到峰完全消失。

【注】：

当阻尼较小时，可以认为$\omega_p = \omega_n$，即$\omega_n$就是峰顶所在的频率位置；其他情况下，二者不相等。

在波特图上，$\omega_n$ 是“转折点”频率，$\omega_p$ 是“峰尖”频率，二者位置不同。

3.2 三个频率的对比

	无阻尼自然频率$\omega_n$	谐振频率$\omega_p$	阻尼振荡频率$\omega_d$
定义	极点到原点的距离$\sqrt{\sigma^2 + \omega_d^2}$	幅频特性达到最大值（即增益尖峰）的频率	极点到实轴的垂直距离（即虚部）
在波特图上的体现（频域体现）	渐近线转折频率；相频曲线 -90° 的位置	幅频曲线峰值的位置	在波特图上没有直接对应的特征点
与$\zeta$的关系	与$\zeta$无关，完全由极点径向距离决定	随$\zeta$增大而逐渐偏离$\omega_n$	随$\zeta$增大而逐渐偏离$\omega_n$
存在条件	始终存在	仅当$\zeta <0.707$ 时才会出现谐振峰	$\zeta<1$
时域体现	不直接决定振荡周期	不直接决定振荡周期	阶跃响应以$\omega_d$振荡
总结	表征整体频带宽度	增益尖峰频率	时域振荡快慢

【使用共轭极点直观理解】

极点$s = -\sigma \pm j\omega_d$中，虚部$\omega_d$是阻尼振荡频率（时域响应的振荡频率），它与谐振频率$\omega_p $也不同。三个频率的关系是：

$$\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} \quad (\text{时域振荡频率})$$ $$\omega_p = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2} \quad (\text{频域谐振频率})$$ $$\omega_n = \sqrt{\sigma^2 + \omega_d^2}$$

大小顺序如下：

• 当$0<\zeta<0.707$ 时：$\omega_p < \omega_d < \omega_n$
• $\zeta=0$ 时：$\omega_p = \omega_d = \omega_n$

3.3 随阻尼比$\zeta$的变化规律

以 $\omega_n$固定为例（设$\omega_n=1$）：

$\zeta$	$\omega_n$	$\omega_p$	$\omega_d$	备注
0	1	1	1	无阻尼，三者相等，等幅振荡
0.2	1	≈0.96	≈0.98	开始分离
0.5	1	≈0.707	≈0.866	谐振峰明显左移
0.707	1	0 (峰消失)	≈0.707	临界有峰情况
1.0	1	不存在	0	临界阻尼，无振荡

3.4 常见误解澄清

• “振荡频率就是自然频率” ❌：时域的振荡频率是$\omega_d$，不是$\omega_n$。
• “谐振峰在自然频率处” ❌：谐振峰在$\omega_p$，通常比低$\omega_n$。
• “$\omega_d$可以在波特图上直接看到” ❌：波特图上没有直接标出$\omega_d$，但可通过相位斜率等间接感知。
• “$\omega_n$只在无阻尼时存在” ❌：$\omega_n$ 是定义量，有阻尼时依然存在，它决定系统速度。