双极点放大器的闭环响应
本文最后更新于：2026年8月11日 晚上
开环放大器为双极点放大器，接成闭环放大器使用后的闭环响应。
1. 开环到闭环
假设放大器的开环增益为$A(s)$，接成反馈系数为$\beta$（假设$\beta$与频率无关）的闭环反馈放大器使用，如下图所示：
则闭环响应表示为
因此反馈放大器的极点就是$1+A(s)\beta$的零点。
令特征方程为
以下将根据不同的开环系统，即不同的$A(s)$对闭环反馈电路的稳定性进行讨论
2. 开环：双实极点
【情形1】：开环放大器为双实极点系统，零点位于无穷远处，则开环传递函数$A(s)$表示为：
带入式（2）特征方程，并整理为标准二次方程：
显然，闭环反馈放大器此时存在两个极点$p_1$、$p_2$，这两个极点的位置即$s$的解
开环放大器存在两个极点，则闭环放大器必然也存在两个极点
只是这两个闭环极点可能是双实极点，也可能是共轭复极点
使用求根公式解得$s$为
两极点的位置（即s的解）与$A_0\beta$相关。由于$A_0$不变，因此不同的反馈系数$\beta$会使得闭环极点的位置不同：
- 随着$\beta$由0（$\beta=0$即开环）不断增大，闭环极点逐步相互靠近。
- 当$\beta$达到一定数值时，两极点重合。
- 当$\beta$继续增大，其极点将成为一对共轭极点并沿着一条垂直线移动。
显然，当$\beta$最大时，反馈闭环电路的稳定性最差。
【注意】：
需要注意的是，通过$A_0\beta$的STB仿真得到的相位裕度PM就可以预测闭环响应
因此，当$\beta$固定的时候，直接仿真该环路的STB，观察其PM大小即可预测闭环响应
如果$\beta$不固定的时候，需要仿真最差情况
通常，$\beta$最大即等于1，即单位负反馈，因此很多时候直接看单位负反馈STB的PM
然而有些反馈放大器的放大倍数＜1（$\beta$>1），则单看单位负反馈PM并不足够说明闭环的稳定性情况
根据标准二次方程，可以得到无阻尼自然频率$\omega_n$：
注意，有时候会误以为$\omega_n = \sqrt{\omega_{p1}\omega_{p2}}$，这是错误的！！这个错误的原因是直接把$A(s)$极点的$\omega_n$当成$A(s)$闭环反馈极点的$\omega_n$。
阻尼因子$\zeta$：
3. 开环：双极点+零点
情形2：开环放大器为双实极点系统，增加了补偿零点（需注意，本文所说的零点均是负半平面零点，正半平面零点不在讨论范围），则开环传递函数$A(s)$表示为：
带入式（2）特征方程，并整理为标准二次方程：
显然，闭环反馈放大器此时存在两个极点$p_1$、$p_2$，零点的引入并没有改变闭环反馈放大器的极点个数。
根据标准二次方程，可以得到无阻尼自然频率$\omega_n$：
对比情况1的$\omega_n$，二者一致。
阻尼因子$\zeta$：
对比情况1的$\zeta$，$\zeta$表达式中的第二项 随 $\omega_z$ 减小而增大，系统阻尼增大，闭环系统趋向稳定、响应速度变慢，响应曲线变缓（趋向不出现增益尖峰）。因此引入零点是改善稳定性和抑制振荡的关键手段，（负半平面）零点的存在总是让系统趋向稳定。
$\omega_n$大小不受零点影响！！
$\zeta$大小受零点影响！！
对于零点补偿双极点系统的频率补偿方案，零点放置的位置可分为两（或三）种情况：
① 零点位于两极点中间，即$\omega_{p1}<\omega_z<\omega_{p2}$
② 零点位于两极点之外，即$\omega_{p1}<\omega_{p2}<\omega_z$
③ 零点位于两极点前面，即$\omega_z<\omega_{p1}<\omega_{p2}$
①、②两种情况是常见的补偿方案，③几乎不出现，因此后文不对③进行讨论。
3.1 零点位于两极点中间
从$\zeta$表达式讲，该情况的零点频率较低，因此$\zeta$更高，相应的闭环系统也会更加稳定；
从相位裕度讲，由于零点在次极点前，于是$UGB$附近的零极点分布为：
由于主极点$\omega_{p1}$只贡献90°相移，且在$UGB$附近有$\omega_z$抬一下，相位裕度通常是可以达到$90°$甚至$100°+$。这个时候不需要考虑环路的稳定性问题，因为环路必然是稳定的。
PM随着$UGB$（即$A_0\beta$）的变化，可知直接从波特图上获知：呈现出先减小，后增大，再减小的特点，但PM始终$≥90°$
【此处先给出该情况的闭环响应结论】：
- 闭环后仍然存在两个极点，且为两个不相等的负半平面极点
- 闭环极点$p_1$相对原来的主极点$\omega_{p1}$频率更高，随$A_0\beta$的增大最终会趋向补偿零点频率$\omega_z$，即闭环系统带宽增大
- 闭环极点$p_2$相对原来的次极点$\omega_{p2}$频率更高，随$A_0\beta$的增大最终会趋向无穷远处
- $A_0\beta$很大时，闭环系统可认为单极点系统，最大带宽约为$\omega_z$
以下为具体数值分析：
3.1.1 闭环必为双实极点
根据开环双实极点+零点的闭环特征方程的标准二阶形式
根据“二次方程的跟判别式（$\Delta=b^2-4ac>0?$）”得
其中，$T = \beta A_0$
将其视为关于$T$的二次函数：
该二次式开口向上，其判别式（关于$T$的判别式）为
由于 $\omega_{p1}<\omega_z<\omega_{p2}$，因此 $(\omega_{p1}-\omega_z)(\omega_{p2}-\omega_z)<0$，故$D<0$。这说明$\Delta(T)$无实数解，而$\Delta(0)=(\omega_{p1}-\omega_{p2})^2>0$，因此对任意 $T\ge0$ 均有 $\Delta>0$。即，对任意 $T\ge0$，$s$均有两个不相等的解，这意味着闭环极点始终为两个相异负实数，永不振荡。
3.1.2 极点相对开环零极点的位置
可利用二次函数$f(s)=s^2+a_1s+a_0$ 在关键点的符号确定根的范围：
由连续性与二次函数开口向上可得：
- $f(-\omega_{p1})\ge0,\ f(-\omega_z)<0$→ 在区间$(-\omega_z,\ -\omega_{p1})$内必有一根，记为$p_1$。
- $f(-\omega_{p2})\le0,\ f(-\infty)=+\infty$→ 在区间$(-\infty,\ -\omega_{p2})$ 内必有一根，记为$p_2$。
因此位置顺序（负实轴上从左向右为更负到更靠近原点）为：
等号仅在 $T=0$ 时成立，此时开环极点即闭环极点。
两个根可显式写为：
对于$p_1$（闭环主极点）：当$T\to\infty$ 时，$b ≈ \frac{T\omega_{p1}\omega_{p2}}{\omega_z}$，$\Delta ≈ \left(\frac{T\omega_{p1}\omega_{p2}}{\omega_z}\right)^2 - 4T\omega_{p1}\omega_{p2} \sim [\frac{T\omega_{p1}\omega_{p2}}{\omega_z}+2\omega_z]^2$ ，可算得$p_1 \to \omega_z$（被零点吸引）。
对于$p_2$（闭环非主极点）：当 $T\to\infty$ 时，$p_2 \approx -a_1 \sim -\frac{T\omega_{p1}\omega_{p2}}{\omega_z} \to -\infty$。
3.1.3 总结
- 两个闭环极点均相对开环极点向左移动（更负），系统响应加速。
- 零点像“磁石”将 $\omega_{p1}$拉向自己，使得主导极点趋$p_1$近$\omega_z$，闭环带宽最高约达 $\omega_z$。
- $p_2$ 迅速远离虚轴成为非主导极点，系统近似为一阶惯性环节，无超调，过阻尼。
- 整个系统始终保持稳定，且动态特性可由 $\omega_z$ 的位置调节。
3.2 零点位于两极点之外
该部分不进行具体公式推导，仅通过观察开环波特图就可以预测闭环响应。
【次极点与主极点较近且低，零点频率较高】：
开环波特图如下：
相较于【零点位于两极点】之间的情况，【零点位于零极点之外】的情况环路单位增益带宽内存在将近180°的相移，而前者最多只有90°相移。于是，【零点位于零极点之外】的情况可能使得闭环极点耦合成共轭极点，引起闭环产生增益尖峰。当然，相对应的，该种补偿方案相比【零点位于两极点】响应速度也会更快。
令环路增益为$T$：
$T=0$（即开环）：$p_1 = -\omega_{p1},\; p_2 = -\omega_{p2}$。
$T$增大：相移增大，相位裕度减小但依然$>76°$（$\zeta>1$），$p_1$ 从$-\omega_{p1}$向左移，$p_2$从$-\omega_{p2}$向右移，$p_1$和$p_2$为分离极点。
$T$继续增大：相移继续增大，相位裕度继续减小且$=76°$（$\zeta=1$），$p_1$和$p_2$在区间$(-\omega_{p2}, -\omega_{p1})$内某点相遇，此时为重实极点。
$T$继续增大：相移继续增大，相位裕度继续减小且$<76°$（$\zeta<1$），$p_1$和$p_2$成为共轭极点
$T$继续增大：由于零点的作用，相移由增大变成减小，相位裕度随之变大且$<76°$，$p_1$和$p_2$依然为共轭极点，并且整体向左半平面移动，阻尼比由于零点加入而提高。
共轭极点表示为：
其中，
- 当相位裕度<63°，则闭环$\zeta<0.707$，闭环波特图开始出现增益尖峰
- 当相位裕度<45°，则闭环$\zeta<0.5$，增益尖峰明显
- 当相位裕度最小时，相位裕度接近0°，增益尖峰极为明显。但由于两极点系统相位裕度始终＞0，因此闭环系统依然稳定，只是调节时间较长。
$T$继续增大：由于零点的作用，相移持续减小，相位裕度随之增大且$=76°$（$\zeta=1$），共轭复根在实轴会合，位于 $(-\infty, -\omega_z)$区间。
$T$继续增大：两个实极点$p_1$和$p_2$重新分开，一个极点向右趋近$-\omega_z$，另一个向左趋向 $-\infty$。
$T\to\infty$：$p_1 \to -\omega_z^-$（从左侧趋近零点），$p_2 \to -\infty$。零点像“磁石”将根轨迹拉向自己，使得最终主导极点可到达 $-\omega_z$，远比开环极点$-\omega_{p1}$更负，大幅提升响应速度；即使 $\omega_z$仅略大于 $\omega_{p2}$，该补偿也能明显增大阻尼、抑制振荡，改善稳定性。
上文所述的【闭环极点随$T$变化】如下：
【注意事项】：
- 假设遇到这种“零点大于次极点”的补偿方案，但是出现相位裕度<0、但补偿零点依然有效果的情况，则必然说明环路单位增益带宽处存在零极点对，且极点频率略低于零点频率。
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