一极一共轭系统的稳定性

对于开环为三极点的放大器，其通常第二、第三极点会耦合成共轭极点，那么该种放大器的稳定性需要考虑什么

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众所周知，共轭极点对在波特图的幅频特性曲线上会产生增益尖峰，在相频特性曲线上会产生急剧的相移。

【注】：和双实极点一致，一对共轭极点会产生180°的相移

如果共轭极点对位于环路单位增益频率$\omega_{c}$内，则必然会造成环路不稳定，因此为了环路稳定，必须将共轭极点放置在环路单位增益频率$\omega_{c}$外。

这将引入一个问题：如果传递函数的幅频曲线在穿越0dB后，因为高频共轭极点的谐振峰，又“翘”回到了0dB以上，那么系统是稳定的吗？

先给出结论：

对于“一个低频实极点 + 一对高频共轭极点”的系统，其开环传递函数为：

$$G(s) = \frac{A_0}{\underbrace{\left(1+\frac{s}{\omega_L}\right)}_{\text{低频实极点}} \cdot \underbrace{\left(1+\frac{2\zeta}{\omega_H}s+\frac{s^2}{\omega_H^2}\right)}_{\text{高频共轭极点}}}$$

其中$A_0$ 是直流增益，$\omega_L$ 是低频极点角频率，$\omega_H$ 是共轭极点的无阻尼自然频率，$\zeta$ 是阻尼比（$0<\zeta<1$ ）。

若满足$\omega_L \ll A_0\omega_L=\omega_c<\omega_H$，则满足

$$\boxed{ 2\zeta\omega_H > \omega_c }$$

时，系统是稳定的。

1. 波特图的正负穿越法则

波特图上的正负穿越法则，是奈奎斯特稳定判据在开环对数频率特性曲线上的直接工程应用。
它回答的核心问题是：在不画奈奎斯特图的情况下，如何仅从波特的幅频和相频曲线上判断单位反馈系统的闭环稳定性？

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1.1 最小相位系统

该法则最经典的适用范围是开环稳定的最小相位系统

最小相位系统，是指在所有具有相同幅频特性的系统中，其相频特性的变化范围（从低频到高频的净相位变化）是最小的。

一个系统是最小相位系统的充要条件是：其环路传递函数$L(s)$的所有极点和所有零点都严格位于$s$平面的左半平面（实部 < 0）。

• 极点都在左半平面：意味着系统本身是开环稳定的。
• 零点也都在左半平面：意味着没有右半平面零点（非最小相位零点）。

在最小相位系统中，幅频与相频存在“绑定”关系：幅频特性曲线的斜率，唯一地决定了相频特性曲线的相位。

• 如果幅频曲线以$-20\,\text{dB/dec}$的斜率下降，其相移必然趋向于$-90^\circ$。
• 如果斜率是$-40\,\text{dB/dec}$，相位必然趋向于$-180^\circ$。

这也是其名字的由来：因为它是“最不坏”的情况。在所有幅频特性完全一样的系统中，它的相位滞后是最小的。如果存在右半平面零点，则会引入“额外的”相移，使系统更容易不稳定。这就是它被称为“最小相位”的原因。

1.2. 正穿越与负穿越

以频率$\omega$增加的方向为准：

• 正穿越：相频曲线由下向上穿过$-180^\circ$线。

  相角从小于 $-180^\circ$变为大于$-180^\circ$（例如从$-185^\circ$相移减小到$-175^\circ$）。

• 负穿越：相频曲线由上向下穿过$-180^\circ$线。

  相角从大于 $-180^\circ$变为小于 $-180^\circ$（例如从$-175^\circ$相移增加到$-185^\circ$）。

1.3. 稳定性判据

设开环系统有$P$个右半平面极点，则闭环系统稳定的充要条件是：

$$\boxed{N_+ - N_- = \frac{P}{2}}$$

其中：

• $N_+$= 幅频$L(\omega) > 0\text{ dB}$区间内，相频曲线的正穿越次数；
• $N_-$= 幅频$L(\omega) > 0\text{ dB}$区间内，相频曲线的负穿越次数；

对于最常见的开环稳定的最小相位系统（$P=0$），判据简化为：

$$\boxed{N_+ - N_- = 0}$$

即正、负穿越次数必须相等，或者说，在增益大于 0 dB 的所有频段内，不允许有单方面多余的穿越。

2. 劳斯判据

劳斯判据是一种无需直接求解高次方程根的代数方法，用于判断一个多项式方程 $D(s)=0$ 是否有根位于$s$ 右半平面，从而判定线性系统的稳定性。它由英国数学家 Edward Routh 于 1874 年提出，至今仍是控制工程中分析特征方程最基础的工具之一。

【基本方法】如下：

给定一个实系数多项式：

$$D(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + a_{n-2} s^{n-2} + \cdots + a_0 = 0, \quad a_i > 0$$

1. 必要条件：所有系数 $a_i$ 必须为正（若有负或缺项，系统一定不稳定或临界稳定）。

2. 构造劳斯表：将系数按如下规则排成多行。

   

3. 判定：若劳斯表第一列的所有元素全部为正，则方程所有根均在左半平面，系统稳定。若第一列有符号变化，符号变化的次数就等于右半平面根的个数。

3. 直观的稳定性分析

3.1 基于正负穿越法则的稳定性判断

对于“一个低频实极点 + 一对高频共轭极点”的系统，其所有零极点均位于左半平面，因此其是开环稳定的最小相位系统。

依照“波特图的正负穿越法则”，可以判断该系统如果存在增益尖峰再越 0 dB的现象，则系统必然不稳定。

• 低频时，相移从 0° 慢慢增加。

• 在单位增益频率$\omega_c$ 附近，如果高频共轭极点尚远，相移还没增加到$180^\circ$（低频只有一个单极点，因此此时相移约$90^\circ$），此时相频曲线不穿越$180^\circ$，$N_+ - N_- = 0$，系统稳定。

• 当频率来到高频共轭极点频率附近，存在【两种情况】：

  • 如果高频共轭极点的$Q $值极高，其谐振尖峰使开环增益在$\omega_c$ 更高频处再次隆起并超越 0 dB（出现第二段$L(\omega)>0\text{ dB}$的区域），则：
    • 在同一频率区间，这对共轭极点正以极快的速度贡献相移，相频曲线几乎必然由上向下猛穿$-180^\circ$（负穿越）。
    • 此时在新增的 $L(\omega)>0\text{ dB}$ 频段内，发生了额外的负穿越，而正穿越并没有增加，导致$N_+ - N_- ≠ 0$。对于开环稳定的最小相位系统，其必定不稳定。

• 如果高频共轭极点的$Q $值较小，尖峰高度不足以越过 0 dB 线，则$N_+ - N_- = 0$依然满足，系统仍可稳定。

3.2 Q值多大不稳定？

对于“一个低频实极点 + 一对高频共轭极点”的系统，设开环传递函数为：

$$G(s) = \frac{A_0}{\left(1 + \frac{s}{\omega_L}\right)\left(1 + \frac{2\zeta}{\omega_H}s + \frac{s^2}{\omega_H^2}\right)}$$

其中$A_0$ 是直流增益，$\omega_L$ 是低频极点角频率，$\omega_H$ 是共轭极点的无阻尼自然频率，$\zeta$ 是阻尼比（$Q \approx 1/(2\zeta)$）。

假设单位负反馈，则环路传递函数为

$$L(s) = G(s) = \frac{A_0}{\left(1 + \frac{s}{\omega_L}\right)\left(1 + \frac{2\zeta}{\omega_H}s + \frac{s^2}{\omega_H^2}\right)}$$

通常 环路单位增益频率$\omega_{c}$远大于$\omega_{L}$，且在低于$\omega_{H}$的频率处。此时高频共轭极点在$\omega_c$ 处的影响可忽略（幅值近似为1，相位滞后不大），此时系统可近似认为单极点系统。

由 $|L(j\omega_c)| = 1$ 可得：

$$\frac{A_0}{\sqrt{1 + \left(\frac{\omega_c}{\omega_L}\right)^2}} \approx 1$$

因$\omega_c \gg \omega_L$，近似为：

$$\frac{A_0}{\omega_c / \omega_L} = 1 \quad\Rightarrow\quad \boxed{A_0 \approx \frac{\omega_c}{\omega_L} }$$

在进入高频共轭极点影响的频段，即$\omega \approx \omega_H$处，有：

$$\left|1 + j\frac{\omega_H}{\omega_L}\right| \approx \frac{\omega_H}{\omega_L} \quad (\text{因 } \omega_H \gg \omega_L)$$ $$\left|1 - \left(\frac{\omega_H}{\omega_H}\right)^2 + j2\zeta\frac{\omega_H}{\omega_H}\right| = |j2\zeta| = 2\zeta$$

因此$\omega \approx \omega_H$处的环路增益幅值为：

$$|L(j\omega_H)| \approx \frac{A_0}{\frac{\omega_H}{\omega_L} \cdot 2\zeta}$$

代入$A_0 \approx \omega_c / \omega_L$，得：

$$|L(j\omega_H)| \approx \frac{\omega_c / \omega_L}{(\omega_H / \omega_L) \cdot 2\zeta} = \frac{\omega_c}{\omega_H} \cdot \frac{1}{2\zeta}$$

由于品质因数 $Q = \frac{1}{2\zeta}$，故有：

$$|L(j\omega_H)| \approx \frac{\omega_c}{\omega_H} \cdot Q$$

为避免谐振峰再次越过 0 dB，则需满足$\omega \approx \omega_H$处的环路增益幅值小于1（0dB）：

$$\frac{\omega_c}{\omega_H} \cdot Q<1 \quad\Rightarrow\quad \boxed{Q < \frac{\omega_H}{\omega_c} }$$

【注】：

• 前提：$\omega_L \ll \omega_c < \omega_H$，且 $\zeta \ll 1$（高 Q）。
• 精确的谐振峰值频率并非正好在 $\omega_H$，而是 $ \omega_H \sqrt{1-2\zeta^2}$，当 $\zeta$ 很小时，谐振峰值频率$\approx \omega_H$，峰值幅度也约等于上述值。
• 该近似能够清晰揭示物理本质：谐振峰能否越过 0 dB，取决于相对频率距离 $\omega_c/\omega_H$与品质因数 $Q$的乘积。
• 为避免环路不稳定，需要避免共轭极点的$Q$值过大（即，环路稳定是允许高频共轭极点存在的）。

4. 数值上的稳定性分析

4.1 开环→闭环

对于“一个低频实极点 + 一对高频共轭极点”的系统，设开环传递函数为：

$$G(s) = \frac{A_0}{\underbrace{\left(1+\frac{s}{\omega_L}\right)}_{\text{低频实极点}} \cdot \underbrace{\left(1+\frac{2\zeta}{\omega_H}s+\frac{s^2}{\omega_H^2}\right)}_{\text{高频共轭极点}}}$$

其中$A_0$ 是直流增益，$\omega_L$ 是低频极点角频率，$\omega_H$ 是共轭极点的无阻尼自然频率，$\zeta$ 是阻尼比（$0<\zeta<1$ ）。假定 $\omega_L \ll \omega_H$。

于是单位反馈闭环传递函数为：

$$T(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)}$$

将 $G(s)$ 代入，通分：

$$T(s) = \frac{A_0}{\left(1+\frac{s}{\omega_L}\right)\left(1+\frac{2\zeta}{\omega_H}s+\frac{s^2}{\omega_H^2}\right) + A_0}$$

分子分母同乘$\omega_L\omega_H^2$，整理分母：

$$\begin{aligned} T(s) &= \frac{A_0\omega_L\omega_H^2}{(s+\omega_L)(s^2+2\zeta\omega_H s+\omega_H^2) + A_0\omega_L\omega_H^2} \\ &= \frac{A_0\omega_L\omega_H^2}{s^3 + (2\zeta\omega_H+\omega_L)s^2 + (\omega_H^2+2\zeta\omega_H\omega_L)s + \omega_L\omega_H^2 + A_0\omega_L\omega_H^2} \end{aligned}$$

定义 等效单位增益频率 $\omega_c \triangleq A_0\omega_L$。

由于$A_0 \gg 1$，$\omega_c \gg \omega_L$，常数项可近似为 $A_0\omega_L\omega_H^2=\omega_c\omega_H^2$，因此闭环传递函数为：

$$T(s) = \frac{\omega_c\omega_H^2}{s^3 + (2\zeta\omega_H+\omega_L)s^2 + (\omega_H^2+2\zeta\omega_H\omega_L)s + \omega_c\omega_H^2}$$

应闭环特征方程：

$$\boxed{s^3 + (2\zeta\omega_H+\omega_L)s^2 + (\omega_H^2+2\zeta\omega_H\omega_L)s + \omega_c\omega_H^2 = 0}$$

显然，开环为三阶系统，闭环也为三阶系统。

4.2 劳斯判据的稳定性分析

对特征方程 $a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0 = 0$，其中$a_3=1$，$a_2=2\zeta\omega_H+\omega_L$，$a_1=\omega_H^2+2\zeta\omega_H\omega_L$，$a_0=\omega_c\omega_H^2$。所有系数均正。

构造劳斯表：

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_1 \\ s^2 & a_2 & a_0 \\ s^1 & \dfrac{a_2 a_1 - 1\cdot a_0}{a_2} & 0 \\ s^0 & a_0 & \end{array}$$

闭环稳定要求第一列全正，唯一起作用的不等式为：

$$a_2 a_1 > a_0$$

即：

$$(2\zeta\omega_H+\omega_L)(\omega_H^2+2\zeta\omega_H\omega_L) > \omega_c\omega_H^2$$

展开：

$$2\zeta\omega_H^3 + 4\zeta^2\omega_H^2\omega_L + \omega_L\omega_H^2 + 2\zeta\omega_H\omega_L^2 > \omega_c\omega_H^2$$

不等式两边除以 $\omega_H^2$（正数）：

$$2\zeta\omega_H + \omega_L(1+4\zeta^2) + \frac{2\zeta\omega_L^2}{\omega_H} > \omega_c$$

由于 $\omega_L \ll \omega_H$，去掉小量，得

$$\boxed{ 2\zeta\omega_H > \omega_c }$$

等价于$\dfrac{\omega_c}{\omega_H} \cdot Q < 1$，其中 $Q = \dfrac{1}{2\zeta}$。

劳斯判据的结果和基于正负穿越法则计算出来的结果一致！！